Utilisation de la notation complexe en régime sinusoïdal
Il est utile, avant d'aborder ce cours, d'avoir vu le cours sur le régime sinusoïdal.
2. Représentation des nombres complexes
3. Manipulation des nombres complexes
3.1 Addition, soustraction
3.2 Inverse
3.3 Produit4. Représentations complexes des grandeurs électriques
4.1 Tension
4.2 Courant
4.3 Impédances
4.4 Puissance5.1 Loi des mailles
5.2 Loi des noeuds
5.3 Loi d'ohms
5.4 Exemple : loi d'Ohm pour la résistance6.1 Généralité
6.2 Exemple : RL série
6.3 Exemple : RLC série
6.4 Exemple : RLC parallèle
Le contenu de ce cours se limite aux besoins nécessaires pour résoudre des montages simples en régime sinusoïdal.
La notation complexe remplace avantageusement la représentation de Fresnel puisqu'elle permet d'éviter la représentation graphique des vecteurs.
Dans l'ensemble des nombres réels, un vecteur plan se représente par deux coordonnées x et y.
En complexe ce même vecteur pourra être représenter par une équation mathématique.
L'intérêt d'une équation c'est qu'elle peut être manipulée pour faire des opérations : somme, produit, ...
Remarque : le symbole habituellement utilisé en mathématique pour représenter un imaginaire pur et la lettre i.
En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d'où le choix de la lettre j.
![]()
2. Représentation des nombres complexes
Soit un nombre complexe
forme algébrique On peut le représenter avec des coordonnées polaires
forme trigonométrique ou
forme exponentielle
Module Z : (longueur, norme) Argument θ : Partie réelle a : Partie imaginaire b : Valeurs remarquables
Si alors et : est un réel pur
Si alors et : est un imaginaire pur
Si alors et : est un imaginaire pur Ce qui revient à :
Complexe conjugué
Si
Alors le complexe conjugué de est :
3. Manipulation des nombres complexes
On utilise de préférence la notation cartésienne.
Soit deux nombres complexes
Soit le complexe tel que Alors
![]()
Soit
On utilise de préférence la notation polaire.
Soit le complexe ![]()
tel que Alors
On constate que
module
argument :
On utilise de préférence la notation polaire.
Soient les trois complexes , et tel que Alors
4. Représentation complexe des grandeurs électriques
Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l'argument la phase à l'origine θu.
Idem pour le courant.
D'une manière générale
Si on considère un dipôle d'impédance z.
L'impédance complexe s'exprime : en ohms (Ω Z est l'impédance en ohms (Ω)
φ est le déphasage provoquée par le dipôle entre la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse (en radians - rad).
Ce qui donne pour les dipôles R, L et C
Résistance Inductance CapacitéImpédance (Ω) Déphasage (rad) Impédance complexe (Ω)
réel pur
imaginaire pur
imaginaire purAdmittance complexe
(Siemens - S)
réel pur
imaginaire pur
imaginaire pur
Remarque : l'admittance Y est l'inverse de l'impédance Z.
Considérons le produit : En développant on obtiend :
Soit finalement :
5. Lois fondamentales d'électricité
Considérons le montage
Avec les grandeurs définies de la façon suivantes
Loi d'ohm :
On développe
Par comparaison termes à termes...
et ...on peut dire que :
et ![]()
soit L'expression complexe de la loi d'ohm à l'avantage de réunir impédance et déphasage dans une expression unique.
5.4 Exemple : loi d'Ohm pour la résistance
Ce qui permet d'écrire
On généralise aux impédances complexes ce que l'on connaît déjà pour la résistance.
Si les dipôles sont en séries, l'impédance équivalente est la somme des impédances.
Si les dipôles sont en parralèles, l'admittance équivalente est la somme des admittances.
L'impédance équivalente complexe est :
L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors :
Et :
L'impédance équivalente complexe est :
L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors :
L'admittance équivalente complexe est :
L'admittance physique est alors :
Et l'impédance physique est alors :