Utilisation de la notation complexe en régime sinusoïdal

Il est utile, avant d'aborder ce cours, d'avoir vu le cours sur le régime sinusoïdal.

Sommaire

1. La notation complexe

2. Représentation des nombres complexes

3. Manipulation des nombres complexes

3.1 Addition, soustraction
3.2 Inverse
3.3 Produit

4. Représentations complexes des grandeurs électriques

4.1 Tension
4.2 Courant
4.3 Impédances
4.4 Puissance

5. Lois d'électricité

5.1 Loi des mailles
5.2 Loi des noeuds
5.3 Loi d'ohms
5.4 Exemple : loi d'Ohm pour la résistance

6. Association de dipôles

6.1 Généralité
6.2 Exemple : RL série
6.3 Exemple : RLC série
6.4 Exemple : RLC parallèle


Le contenu de ce cours se limite aux besoins nécessaires pour résoudre des montages simples en régime sinusoïdal.

1. La notation complexe

La notation complexe remplace avantageusement la représentation de Fresnel puisqu'elle permet d'éviter la représentation graphique des vecteurs.

Dans l'ensemble des nombres réels, un vecteur plan se représente par deux coordonnées x et y.

En complexe ce même vecteur pourra être représenter par une équation mathématique.

L'intérêt d'une équation c'est qu'elle peut être manipulée pour faire des opérations : somme, produit, ...

Remarque :

le symbole habituellement utilisé en mathématique pour représenter un imaginaire pur et la lettre i.
En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée pour représenter un courant, d'où le choix de la lettre j.

2. Représentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe

forme algébrique    

On peut le représenter avec des coordonnées polaires

forme trigonométrique    

ou

forme exponentielle    

Module Z : (longueur, norme)  
Argument θ :    
Partie réelle a :    
Partie imaginaire b :    

Valeurs remarquables

Si alors et : est un réel pur
Si alors et : est un imaginaire pur
Si alors et : est un imaginaire pur

Ce qui revient à :

Complexe conjugué

Si        
Alors le complexe conjugué de est :    

3. Manipulation des nombres complexes

3.1 Addition, soustraction

On utilise de préférence la notation cartésienne.

Soit deux nombres complexes

Soit le complexe tel que

Alors

Soit

3.2 inverse

On utilise de préférence la notation polaire.

Soit le complexe tel que

Alors

On constate que

module

argument :

3.3 Produit

On utilise de préférence la notation polaire.

Soient les trois complexes , et tel que

Alors

4. Représentation complexe des grandeurs électriques

4.1 Tension

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l'argument la phase à l'origine θu.

4.2 Courant

Idem pour le courant.

4.3 Impédances

D'une manière générale

Si on considère un dipôle d'impédance z.

L'impédance complexe s'exprime : en ohms (Ω

Z est l'impédance en ohms (Ω)

φ est le déphasage provoquée par le dipôle entre la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse (en radians - rad).

Ce qui donne pour les dipôles R, L et C

 
Résistance
Inductance
Capacité
 
Impédance (Ω)
Déphasage (rad)
Impédance complexe (Ω)


réel pur


imaginaire pur

imaginaire pur
Admittance complexe
(Siemens - S)


réel pur


imaginaire pur

imaginaire pur
Remarque : l'admittance Y est l'inverse de l'impédance Z.      

4.4 Puissance

Considérons le produit :    

En développant on obtiend :

Soit finalement :

5. Lois fondamentales d'électricité

Considérons le montage

5.1 Loi des mailles

5.2 Loi des noeuds

5.3 Loi d'ohms

Avec les grandeurs définies de la façon suivantes

Loi d'ohm :

   

On développe

Par comparaison termes à termes...

et

...on peut dire que :

et soit

L'expression complexe de la loi d'ohm à l'avantage de réunir impédance et déphasage dans une expression unique.

5.4 Exemple : loi d'Ohm pour la résistance

Ce qui permet d'écrire

6.Associations de dipôles

6.1 Principe

On généralise aux impédances complexes ce que l'on connaît déjà pour la résistance.

Si les dipôles sont en séries, l'impédance équivalente est la somme des impédances.

Si les dipôles sont en parralèles, l'admittance équivalente est la somme des admittances.

6.2 Exemple : RL série

L'impédance équivalente complexe est :
L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors :
Et :

6.3 Exemple : RLC série

L'impédance équivalente complexe est :
L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors :

6.4 Exemple : RLC parallèle

L'admittance équivalente complexe est :
L'admittance physique est alors :
Et l'impédance physique est alors :