Utilisation de la notation complexe en régime
sinusoïdal
Il est utile, avant d'aborder ce cours, d'avoir vu le cours
sur le régime sinusoïdal.
Sommaire
1. La notation complexe
2. Représentation des nombres complexes
3. Manipulation des nombres complexes
3.1 Addition, soustraction
3.2 Inverse
3.3 Produit
4. Représentations complexes des grandeurs électriques
4.1 Tension
4.2 Courant
4.3 Impédances
4.4 Puissance
5. Lois d'électricité
5.1 Loi des mailles
5.2 Loi des noeuds
5.3 Loi d'ohms
5.4 Exemple : loi d'Ohm pour la résistance
6. Association de dipôles
6.1 Généralité
6.2 Exemple : RL série
6.3 Exemple : RLC série
6.4 Exemple : RLC parallèle
Le contenu de ce cours se limite aux besoins nécessaires pour résoudre
des montages simples en régime sinusoïdal.
1. La notation complexe
La notation complexe remplace avantageusement la représentation de
Fresnel puisqu'elle permet d'éviter la représentation graphique
des vecteurs.
Dans l'ensemble des nombres réels, un vecteur plan se représente
par deux coordonnées x et y.
En complexe ce même vecteur pourra être représenter par
une équation mathématique.
L'intérêt d'une équation c'est qu'elle peut être
manipulée pour faire des opérations : somme, produit, ...
| Remarque : |
le symbole habituellement utilisé en mathématique
pour représenter un imaginaire pur et la lettre i.
En physique, cette lettre est déjà couramment utilisée
pour représenter un courant, d'où le choix de la lettre
j.
|
2. Représentation
des nombres complexes
Soit un nombre complexe
 |
forme algébrique |
|
|
On peut le représenter avec des coordonnées polaires
 |
forme trigonométrique |
|
|
ou
 |
forme exponentielle |
|
|
| Module Z : |
 |
(longueur, norme) |
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| Argument θ : |
 |
|
|
| Partie réelle a : |
 |
|
|
| Partie imaginaire b : |
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|
Valeurs remarquables
| Si |
 |
alors |
 |
et |
 |
:  |
est un réel pur |
| Si |
 |
alors |
 |
et |
 |
: |
est un imaginaire pur |
| Si |
 |
alors |
 |
et |
 |
: |
est un imaginaire pur |
Ce qui revient à :
Complexe conjugué
| Si |
 |
|
|
|
|
| Alors le complexe conjugué de |
|
est : |
 |
|
|
3. Manipulation
des nombres complexes
3.1 Addition, soustraction
On utilise de préférence la notation cartésienne.
Soit deux nombres complexes
| Soit le complexe |
 |
tel que |
 |
Alors
Soit
3.2 inverse
On utilise de préférence la notation polaire.
| Soit le complexe |
 |
tel que |
 |
Alors
On constate que
module
argument :
3.3 Produit
On utilise de préférence la notation polaire.
| Soient les trois complexes |
 |
, |
 |
et |
|
tel que |
 |
Alors
4. Représentation
complexe des grandeurs électriques
4.1 Tension
Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace
U et l'argument la phase à l'origine θu.
4.2 Courant
Idem pour le courant.
4.3 Impédances
D'une manière générale
Si on considère un dipôle d'impédance z.
| L'impédance complexe s'exprime : |
|
en ohms (Ω |
Z est l'impédance en ohms (Ω)
φ est le déphasage provoquée par le dipôle
entre la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse
(en radians - rad).
Ce qui donne pour les dipôles R, L
et C
| |
Résistance |
Inductance |
Capacité |
| |
|
|
|
| Impédance (Ω) |
|
|
|
| Déphasage (rad) |
|
|
|
| Impédance complexe (Ω) |
réel pur
|
imaginaire pur |
imaginaire pur |
Admittance complexe
(Siemens - S) |
réel pur
|
imaginaire pur |
imaginaire pur |
| Remarque : l'admittance Y est l'inverse de
l'impédance Z. |
|
|
|
4.4 Puissance
| Considérons le produit : |
 |
|
|
En développant on obtiend :
Soit finalement :
5. Lois fondamentales
d'électricité
Considérons le montage
5.1 Loi des mailles
5.2 Loi des noeuds
5.3 Loi d'ohms
Avec les grandeurs définies de la façon suivantes
Loi d'ohm : |
 |
|
|
On développe
Par comparaison termes à termes...
 |
et |
 |
...on peut dire que :
L'expression complexe de la loi d'ohm à l'avantage de réunir
impédance et déphasage dans une expression unique.
5.4 Exemple : loi d'Ohm pour
la résistance
Ce qui permet d'écrire
6.Associations de
dipôles
6.1 Principe
On généralise aux impédances complexes ce que l'on connaît
déjà pour la résistance.
Si les dipôles sont en séries, l'impédance équivalente
est la somme des impédances.
Si les dipôles sont en parralèles, l'admittance équivalente
est la somme des admittances.
6.2 Exemple : RL série
| L'impédance équivalente complexe est : |
 |
| L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors : |
 |
| Et : |
 |
6.3 Exemple : RLC série
| L'impédance équivalente complexe est : |
 |
| L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors : |
 |
6.4 Exemple : RLC parallèle
| L'admittance équivalente complexe est : |
 |
| L'admittance physique est alors : |
 |
| Et l'impédance physique est alors : |
 |
