La plus grande partie de l’énergie est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal ;les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et électriquement ;
toute fonction périodique de forme quelconque peut être décomposée en une somme de signaux sinusoïdaux.
Une tension sinusoïdale est une grandeur périodique et alternative pouvant s’écrire sous la forme :
t est le temps en secondes (s)
ω est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
ω.t+θu est la phase instantanée en radians (rad) ;
θu est la phase à l’origine en radians (rad).
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car il s'agit d'une fonction alternative |
la valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale est
: où UM est la valeur maximum du signal.
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Par définition T est telle que : |
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avec k = 0; 1; 2; 3; ... |
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Ce qui conduit à : |
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Formule avec la fréquence : |
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avec |
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De cette équation ou de la courbe on peut en déduire :
Relevé graphique de qu :
Une période correspond à un tours du cercle trigonométrique.
Remarquer le sens de mesure de
.
La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son extrémité par rapport à son origine.
En coordonnées polaires, il faut sa longueur et l'angle qu'il fait avec un axe d'origine.
Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa valeur efficace et d’angle sa phase à l’origine.Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.
pour la tension :
Pour le courant :
Différence de phase :
D'où la
représentation de Fresnel
ou
représentation vectorielle
Si on prend le courant I comme origine des phases la représentation se simplifie.
pour la tension :
Pour le courant :
D'où la
représentation de Fresnel
φ (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.
En représentation de Fresnel, φ est l’angle allant de i vers u.
Remarque : il n’est pas nécessaire de représenter la phase instantanée (ω.t+θ) puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront la même pulsation ω. La seule partie qui change pour les différents tensions et courants, ce sont la valeur efficace et la phase à l’origine θ.
Remarque : le déphasage φ dépend du dipôle et de la pulsation ω.
Exemple :
Loi des mailles instantanée :
avec
et
Courbes :
Remarque : u à la même période que u1 et u2.
Loi des mailles vectorielle :
avec
et
Représentation vectorielle :
En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.
U différent de U1 + U2 (voir la construction vectorielle ci-dessus).Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.
La puissance électrique est le produit de la tension par le courant.
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Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-dessous :
| d'où |
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| Finalement |
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La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (c’est une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant.
U : valeur efficace de la tension (V) ;
I : valeur efficace du courant (A) ;
φ : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W).
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.
Unité : le voltampère réactif (VAR)
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).
Unité : le voltampère (VA).
En observant les relations ci-dessus on constate que :
Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances (triangle des puissance) :
Remarque : seule la puissance active à une réalité physique. La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.
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Schéma |
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Equation fondamentale |
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Impédance Z ( |
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Admittance Y (S) |
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Relation entre les valeurs efficaces |
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Déphasage j (rad) |
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Représentation de Fresnel |
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Puissance active P (W) |
 
R absorbe P |
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Puissance réactive Q (VAR) |
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L absorbe Q |
C fournit Q |
La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine n’est en réalité pas négligeable. D’où la modélisation d’une bobine réelle (Z) par une résistance (r) en série avec une inductance parfaite (L):
Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; Ω).
Il faut connaître l’expression de Z en fonction de r et L.
ω est la pulsation en rad.s-1
Le condensateur réel ne s’éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes fréquences (f > 1 MHz).
Nous considérons ici que le condensateur est parfait.
Le théorème de Boucherot n'est pas valable pour la puissance apparente.
Remarque : ces résultats sont donnés sans démonstration
Sans dimension.
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En régime sinusoïdale le facteur de puissance est :
Pour des raisons économiques, une installation électrique industrielle doit consommer le moins d'énergie possible.
Il faut donc réduire les pertes.
En particulier les pertes joules dépendent du courant.Pertes joules :
• La tension U est imposée par le réseau (220V), la puissance P est imposée par la charge (installation électrique qui absorbe la puissance) :
Plus I est faible plus les pertes sont faibles. Il faut donc avoir cosφ le plus proche possible de 1.• Ce qui revient aussi à :
Plus Q se rapproche de 0, plus cosφ se rapproche de 1.• C’est à dire il faut relever le facteur de puissance.
• Méthode : il faut joindre à l'installation électrique un composant pouvant modifier la puissance réactive Q (et donc cosφ) sans modifier la puissance active P (question d'économie).
Ces composants sont soit le condensateur soit la bobine parfaite.
Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC < 0) de telle sorte que Q + QC < Q.Si l’installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des inductances (QL > 0) de telle sorte que Q < Q + QL .
Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage, ...). Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur.L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché.
Sans le condensateur
Avec le condensateur
D’après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances.
Puissance active Puissance réactive Déphasage ou facteur de puiss.
Charge seule
On a cosφ Condensateur seul
-π /2
Charge + condensateur
On veut cosφ’ On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante :
Finalement :
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• U et I sont les
valeurs efficaces de u et i. |
φ est la différence de phase entre u et i ou le déphasage de i par rapport à u.
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on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :
ou
Sur le diagramme de Fresnel, φ est l’angle allant devers
.
remarque : à l'oscilloscope ur est l'image
de i.
On va mesurer le déphasage entre u et i provoqué par les composants R, L et C de ce circuit
A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps Δt allant de u vers i et la période T (identique pour u et i).
Sachant qu’une période complète correspond à 2π radians ou 360 degrés, on effectue une règle de trois pour trouver le déphasage φ.
| On obtient : en fonction de T : |
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en radians (rad) |
| en fonction de f : |
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en radians (rad) |
| en fonction de ω : |
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en radians (rad) |
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En degrés (°) |
Il faut choisir l'intervalle Δt entre deux fronts montants ou deux fronts descendants.
Il existe une autre méthode de mesure du déphasage à l’oscilloscope (courbes de Lissajous). Il existe également des instruments mesurant automatiquement le déphasage.
Le déphasage intervient dans :- le calcul de puissance et le relèvement du facteur de puissance ;
- la conception de filtres HiFi ;
- la conception de régulations de systèmes d’asservissement.
En mesure physique le déphasage indique l’intervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure de vitesses, de retards, de temps de réaction, …)
Soit φ, le déphasage de i par rapport à u :
Grandeurs instantanées Représentation de Fresnel Mesure à l'oscilloscope φ = θu-θi Angle allant de Mesurer Δt de u vers i
)
